格林函数一阶常微分方程方法介绍-白红宇

格林函数一阶常微分方程方法介绍

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发布时间：2019-03-01

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从一个物理问题入手:

假设一个物体静止在具有正比于速度的粘滞阻力的地面，t时刻突然作用一个冲击，求物体的速度，这个问题可以用以下方程描述

$m\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} t}+\alpha v=\delta (t-t')$

在时刻t'之后，v的方程是

$v=\frac{1}{m}e^{-\frac{\alpha }{m}(t-t')}$

这个解叫作系统的格林函数，记作 $G(t,t')$

有了这个解，结合体系的线性性，可以得出对于任意方程

$m\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} t}+\alpha v=F(t)$

系统的解可以形式上写为

$v=\int_{t0}^{t}G(t,t')F(t')dt$

所以这个系统解，可以直接写出

$v(t)=\int_{0}^{t}1/m(e^{-\frac{a}{m}(t-t')})F(t')dt'$

例如取外力为一个常数，通过积分，就可以算出结果。这个结果在电路中有一个对应，就是电感，电阻，电源构成的RL暂态过程

暂态过程之后稳定

下面我们用上面的公式来解决一道考研数学题目

2018 数一

$y{}'+y=f\left ( x \right )$

$(1)f\left ( x \right ) = x$ ,求方程解

由前面的公式，直接找到一个通

$y=\int_{0}^{x}e^{-(x-x')}x'dx'$

注意，这种方法得到只是形式上的通接，计算不一定简单，所以更快的方法还是算子法，直接得到x-1是特解。

(2)若 $f\left ( x\right )$ 是周期为T的周期函数，证明方程存在唯一的以周期为T的解

由前面公式

$y(x)=\int_{0}^{x}e^{-(x-x')}f(x')dx'$

$y(x+T)=\int_{T}^{x+T}e^{-(x+T-x')}f(x')dx'$

$y(x+T)=\int_{T}^{x+T}e^{-(x-(x'-T))}f(x'-T)d(x'-T)$

y(x+T)=y(x)

证毕。

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