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格林函数一阶常微分方程方法介绍
阅读量:239 次
发布时间:2019-03-01

本文共 374 字,大约阅读时间需要 1 分钟。

从一个物理问题入手:

假设一个物体静止在具有正比于速度的粘滞阻力的地面,t时刻突然作用一个冲击,求物体的速度,这个问题可以用以下方程描述

m\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} t}+\alpha v=\delta (t-t')

在时刻t'之后,v的方程是

v=\frac{1}{m}e^{-\frac{\alpha }{m}(t-t')}

这个解叫作系统的格林函数,记作G(t,t')

有了这个解,结合体系的线性性,可以得出对于任意方程

m\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} t}+\alpha v=F(t)

系统的解可以形式上写为

v=\int_{t0}^{t}G(t,t')F(t')dt

所以这个系统解,可以直接写出

v(t)=\int_{0}^{t}1/m(e^{-\frac{a}{m}(t-t')})F(t')dt'

例如取外力为一个常数,通过积分,就可以算出结果。这个结果在电路中有一个对应,就是电感,电阻,电源构成的RL暂态过程

暂态过程之后稳定

下面我们用上面的公式来解决一道考研数学题目

2018 数一

y{}'+y=f\left ( x \right )

(1)f\left ( x \right ) = x,求方程解

由前面的公式,直接找到一个通

y=\int_{0}^{x}e^{-(x-x')}x'dx'

注意,这种方法得到只是形式上的通接,计算不一定简单,所以更快的方法还是算子法,直接得到x-1是特解。

(2)若f\left ( x\right )是周期为T的周期函数,证明方程存在唯一的以周期为T的解

由前面公式

y(x)=\int_{0}^{x}e^{-(x-x')}f(x')dx'

y(x+T)=\int_{T}^{x+T}e^{-(x+T-x')}f(x')dx'

y(x+T)=\int_{T}^{x+T}e^{-(x-(x'-T))}f(x'-T)d(x'-T)

y(x+T)=y(x)

证毕。

 

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